数理計画法（Mathematical Programming）とは、数理モデルを使用して与えられた制約条件の下で最適な解（最大または最小の目的関数の値）を求める数学的な手法の総称です。この手法は、経済学、工学、経営学など、様々な分野で幅広く使用されています。
数理計画法の主な目的は、リソースを最適に配分することや、効率を最大化・コストを最小化することです。以下では、数理計画法の基本的な概念とその代表的な種類について説明します。
数理計画法（最適化法）
数理計画法は、目的関数（最大化・最小化すべき関数）とそれに従う制約条件を数理モデルとして構築し、その最適解を見つける手法です。一般的な構成は以下の通りです：
- 目的関数: 最大化または最小化したい数式（例: 利益、コスト、効率）。
- 制約条件: 守るべき制約や限界（例: 資源、予算、技術的限界）。
- 決定変数: 最適化したい対象を表す変数（例: 生産量、在庫量、投資額）。
線形計画法（Linear Programming: LP）
線形計画法は、目的関数と制約条件がすべて線形で表現される最適化手法です。問題は一般的に次の形式で表されます：
- 目的関数: 線形関数（例: ( Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + … + c_n x_n )）
- 制約条件: 線形不等式または等式（例: ( a_1 x_1 + a_2 x_2 \leq b )）
活用事例
- 生産計画: 複数の工場で異なる製品を製造する際、各製品の生産コストを最小化するための製造量の最適化を行う。
- 輸送問題: 物流で、各拠点からの輸送コストを最小化しつつ、需要と供給のバランスを取る最適輸送ルートを決定する。
注意点
- 目的関数や制約条件が非線形になると、線形計画法では解けない。
- 解の探索に際しては、シンプレックス法や内点法がよく使われます。
整数計画法（Integer Programming: IP）
整数計画法は、線形計画法の一種ですが、変数の値が整数であることを求められる場合に適用される手法です。制約条件や目的関数は線形でも、変数が整数に限られることで、解法の難易度が大幅に上がります。
- 制約: $$( x_1, x_2, …, x_n )$$ が整数。
活用事例
- 配置問題: 工場や店舗の最適な配置場所を選定する際に、候補地が限られている場合（つまり、0か1の選択が必要な場合）。
- ナップサック問題: 一定の容量を持つリュックサックに、価値が最大となるようにアイテムを詰める問題。アイテムの数は整数。
注意点
- 整数制約が加わることで、解法が複雑化し、計算時間が増えることがあります。代表的な解法として、分枝限定法（Branch and Bound）が使用されます。
多目的最適化（Multi-Objective Optimization）
多目的最適化は、複数の目的関数を同時に最適化する問題に対応する手法です。通常、複数の目的関数が互いにトレードオフの関係にあるため、1つの目的関数を最適化すると他の目的関数が悪化するというジレンマが生じます。そのため、単一の「最適解」ではなく、複数の妥協解を見つけることが重要になります。
活用事例
- 製品設計: 製品のコストを最小化しつつ、性能を最大化するような設計。
- 交通システムの最適化: 環境負荷（CO2排出量）を最小化しつつ、移動時間を最小化する公共交通の設計。
注意点
- 解の候補は複数あり、それらをパレート最適解（後述）として評価する必要があります。
パレート最適（Pareto Optimality）
パレート最適は、多目的最適化において用いられる概念で、他の目的を悪化させることなく、ある目的を改善できないような解のことを指します。複数のパレート最適解の集合をパレートフロンティアと呼び、その中から意思決定者が重視する要素に基づいて最終的な解を選びます。
活用事例
- 経済政策の決定: 経済成長と環境保護という相反する目標の間で、どちらも改善が見込まれるバランスの取れた政策を決定する際にパレート最適を利用する。
- 製品開発: 複数の性能指標が競合する場合、パレート最適を考慮して、どの指標も一定の水準を維持した製品を設計。
注意点
- パレート最適解は1つではなく、複数存在します。そのため、意思決定者が優先順位を付けて選択する必要があります。
まとめ
数理計画法は、複雑な意思決定問題に対して最適解を求めるための強力なツールです。各手法には特徴や適用範囲があり、問題に応じた適切な手法を選ぶことが重要です。例えば、製造業でのコスト最小化には線形計画法、配置問題などには整数計画法、複数の目標を考慮する設計や政策決定には多目的最適化が利用されます。
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