容量3kWの太陽光発電システムの導入に150万円の資金を要するが，このシステムにより年間10万円の電気料金が節約できる。
システムの導入は年初に行われ，節約分は1年分を毎年末にまとめて受け取る。
導入費用以外の費用（修理費，保守点検費など）は発生しないものとして，年利率が2%であるとき，この年利率を考慮した資金回収期間（投資資金回収に必要な年数）n を求める式として正しいものはどれか。
ただし，nが不等式で与えられている場合は，その不等式を満たす最小の整数をそのn の値とする。
注： α を正の定数， n を正の整数としたとき，初項が1で公比が1/αの等比級数のはじめのn 項の和が正数X を超える，すなわち
１＋1/α＋1/α^2＋…＋1/α^n-1≧X
となるための条件はn≧{-log(1－(1－1/α)X)}/logαである。
① n≧{-log0.82}/log1.02
② n≧{-log0.8}/log1.02
③ n≧{-log(0.82/1.02)}/log1.02
④ n≧{-log(0.72/1.02)}/log1.02
⑤ n≧{-log0.7}/log1.02
【正解⑤】
割引率に関する説明はこちら
n年後末の節約額10万円を年利率(割引率)を使用して現在価値に換算すると、n/1.02n と表現できます。
よって、1年目末からn年目末までの間の節約額を現在価値に換算した合計は、次の式で表すことができます。
10/1.02 + 10/1.022 + 10/1.023 + … + 10/1.02n = 10/1.02 (１＋1/1.02＋1/1.022＋…＋1/1.02n-1) (万円)
これが、初期投資額150 (万円)以上となる不等式は次のように表せます。
10/1.02 (１＋1/1.02＋1/1.022＋…＋1/1.02n-1) ≧ 150
⇔ １＋1/1.02＋1/1.022＋…＋1/1.02n-1 ≧ 15.3
与えられた不等式n≧{-log(1－(1－1/α)X)}/logαに、X=15.3、α=1.02 を代入する。
n≧{-log(1－(1－1/α)X)}/logα
⇔ n≧{-log(α―αX+X)/α)}/logα
⇔ n≧{-log(0.714/1.02)}/log1.02
⇔ n≧{-log(0.7)}/log1.02
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